已知函數(shù)f（x）=a+
2x-1
2x+1
，f（-1）=-
1
3

（1）求f（x）定義域和a的值
（2）判斷f（x）奇偶性并證明
（3）證明f（x）在定義域上為增函數(shù)．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)奇偶性的性質
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：（1）將f（-1）=-
1
3
代入函數(shù)表達式求出即可，（2）可以采用函數(shù)的奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性，（3）求出函數(shù)的導數(shù)大于0，從而解決問題．
解答： 解：（1）f（x）的定義域為：R，
f（-1）=a+
2-1-1
2-1+1
=a-
1
3
=-
1
3
，
∴a=0，
（2）f（x）是偶函數(shù)，證明如下：
由（1）得：f（x）=
2x-1
2x+1
，
∴f（-x）=
2-x-1
2-x+1
=
1
2x
-1
1
2x
+1
=
2x-1
2x+1
=f（x），
定義域為R，關于原點對稱，
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
（3）證明：∵f′（x）=
(2x-1)′(2x+1)-(2x+1)(2x-1)′
(2x+1)2

=
2x+1ln2
(2x+1)2
＞0，
∴函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的定義，考查導數(shù)的應用，函數(shù)的單調性，是一道基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={y|-1＜y＜1}，則以下哪項正確（　�。�
A、A∪B=BB、B∪A=A
C、A⊆BD、A∩B=∅

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間[-π，
2
3
π]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=-
π
6
對稱，當x∈[-π，
2
3
π]時，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）在[-π，
2
3
π]上的表達式；
（2）求方程f（x）=
2
2
的解．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x3-9x2+12x-3
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若關于x的方程f（x）-a=0有3個實根，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義函數(shù)fn（x）=（1+x）n-1，（x＞-2，n∈N*），其導函數(shù)記為fn′（x）．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）設
fn′(x0)
fn+1′(x0)
=
fn(1)
fn+1(1)
，求證：0＜x0＜1；
（3）是否存在區(qū)間[a，b]⊆（-∞，0]，使函數(shù)h（x）=f3（x）-f2（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應的區(qū)間[a，b]．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構成一個等比數(shù)列且它們有一個公共的焦點（4，0），其中雙曲線的一條漸近線方程為y=
3
x，求三條曲線的標準方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x∈（0，4），y∈（0，4）．
（1）若x∈N+，y∈N+以x，y作為矩形的邊長，記矩形的面積為S，求S＜4的概率；
（2）若x∈R，y∈R，求這兩數(shù)之差不大于2的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2．
（Ⅰ）若f（x）在x=-1時有極值，求a的值及函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案