Question

已知定義在區(qū)間[-π，

2

3

π]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱，當x∈[-π，

2

3

π]時，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表達式；
（2）求方程f（x）=

2

2

的解．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先求出函數(shù)在[-

π

6

，

2π

3

]上的解析式，然后設(shè)-π≤x＜-

π

6

，求出-

π

6

≤-x-

π

3

≤

2π

3

，結(jié)合函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱求得答案；
（2）由-

π

6

≤x≤

2π

3

得到

π

6

≤x+

π

3

≤π，再由f（x）=sin(x+

π

3

)=

2

2

求得x的值．-π≤x＜-

π

6

直接帶入函數(shù)解析式求得x的值．

解答： 解：（1）當x∈[-

π

6

，

2π

3

]時，A=1，

T

4

=

2π

3

-

π

6

，T=2π，ω=1．
且f（x）=sin（x+φ）過點(

2π

3

，0)，
則

2π

3

+φ=π，φ=

π

3

．
f（x）=sin(x+

π

3

)．
當-π≤x＜-

π

6

時，-

π

6

≤-x-

π

3

≤

2π

3

，
f(-x-

π

3

)=sin（-x-

π

3

+

π

3

），
而函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱，
則f（x）=f(-x-

π

3

)，
即f（x）=sin（-x-

π

3

+

π

3

）=-sinx，-π≤x＜-

π

6

．
∴f（x）=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 ， 2π 3 ] -sinx，x∈[-π，- π 6 )

；
（2）當-

π

6

≤x≤

2π

3

時，

π

6

≤x+

π

3

≤π，
由f（x）=sin(x+

π

3

)=

2

2

，
得x+

π

3

=

π

4

或

3π

4

，x=-

π

12

或

5π

12

．
當-π≤x＜-

π

6

時，由f（x）=-sinx=

2

2

，即sinx=-

2

2

，
得x=-

π

4

或-

3π

4

．
∴x=-

π

4

或-

3π

4

或-

π

12

或

5π

12

．

點評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了三角函數(shù)值的求法，是中檔題．