Question

已知橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個等比數(shù)列且它們有一個公共的焦點（4，0），其中雙曲線的一條漸近線方程為y=

3

x，求三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點：圓錐曲線的共同特征

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用焦點（4，0），其中雙曲線的一條漸近線方程為y=

3

x，可得雙曲線方程，利用橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個等比數(shù)列，所以這個等比數(shù)列的中間項一定是拋物線的離心率1，由等比數(shù)列性質(zhì)可得橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，因此，橢圓的離心率為

1

2

，即可求出橢圓、拋物線的方程．

解答： 解：因為雙曲線的焦點在x軸上，故其方程可設(shè)為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0．b＞0）
又因為它的一條漸近線方程為y=

3

x，所以

b

a

=

3

，
所以e=

1+3

=2，
因為c=4，所以a=2，b=

3

a=2

3

，（4分）
所以雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1=1．（6分）
因為橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個等比數(shù)列，所以這個等比數(shù)列的中間項一定是拋物線的離心率1，由等比數(shù)列性質(zhì)可得橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，因此，橢圓的離心率為

1

2

，（10分）
設(shè)橢圓方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0），則c=4，a₁=8，b₁²=8²-4²=48．
所以橢圓的方程為

x2

64

+

y2

48

=1，易知拋物線的方程為y²=16x．（12分）

點評：本題考查圓錐曲線的方程，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．