Question

16．持續(xù)高溫使漳州市多地出現(xiàn)氣象干旱，城市用水緊張，為了宣傳節(jié)約用水，某人準備在一片扇形區(qū)域（如圖3）上按照圖4的方式放置一塊矩形ABCD區(qū)域宣傳節(jié)約用水，其中頂點B，C在半徑ON上，頂點A在半徑OM上，頂點D在$\widehat{NM}$上，∠MON=$\frac{π}{6}$，ON=OM=10，m，設∠DON=θ，矩形ABCD的面積為S．

（Ⅰ）用含θ的式子表示DC，OB的長‘
（Ⅱ）若此人布置1m²的宣傳區(qū)域需要花費40元，試將S表示為θ的函數(shù)，并求布置此矩形宣傳欄最多要花費多少元錢？（精確到0.01）
（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接在三角形中利用三角函數(shù)可以表示DC、OB的長；
（Ⅱ）S=BC×CD，求出相應函數(shù)，再利用導數(shù)方法研究函數(shù)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）在△ODC中DC=10sinθ，在△OAB中，OB=10$\sqrt{3}$sinθ；
（Ⅱ）在△ODC中OC=10cosθ，從而S=BC×CD=100（cosθsinθ-$\sqrt{3}$sin²θ）（0＜θ＜$\frac{π}{6}$）
由S′=100（-sin²θ+cos²θ-2$\sqrt{3}$sinθcosθ）=0得tan2θ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由0＜θ＜$\frac{π}{6}$，得θ=$\frac{π}{12}$，易得θ=$\frac{π}{12}$時，S的最大值為100（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）≈13.4．
此人布置1m²的宣傳區(qū)域需要花費40元，
∴布置此矩形宣傳欄最多要花費13.4×40=536元錢．

點評 解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數(shù)學問題，在數(shù)學領域?qū)ふ疫m當?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實際問題中加以說明．