Question

1．已知圓E：（x-1）²+y²=4，線段AB、CD都是圓E的弦，且AB與CD垂直且相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O，如圖所示，設(shè)△AOC的面積為S₁，設(shè)△BOD的面積為S₂；
（1）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x₁，用x₁表示|OA|；
（2）求證：|OA|•|OB|為定值；
（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S₁+S₂，試研究S₁+S₂是否有最小值，如果有，求出最小值，并寫出此時(shí)直線AB的方程；若沒有最小值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用距離公式，即可用x₁表示|OA|；
（2）分類討論，計(jì)算|OA|•|OB|，即可證明|OA|•|OB|為定值；
（3）由（2）得|OA|•|OB|=3，同理|OC||OD|=3，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)A（x₁，y₁），代入圓E：（x-1）²+y²=4，得y₁²=-x₁²+2x₁+3，
∴|OA|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2{x}_{1}+3}$；
（2）證明：設(shè)B（x₂，y₂），
同理可得|OB|=$\sqrt{2{x}_{2}+3}$，
∴|OA|•|OB|=$\sqrt{4{x}_{1}{x}_{2}+6（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
x₁≠x₂，設(shè)直線AB的方程為y=kx，代入圓的方程得（k+1）x²-2x-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+1}$，
代入可得|OA|•|OB|=3，
x₁=x₂，直線過原點(diǎn)，直線AB的方程為x=0，即x₁=x₂=0，代入可得|OA|•|OB|=3，
綜上所述，|OA|•|OB|=3為定值；
（3）解：由（2）得|OA|•|OB|=3，同理|OC||OD|=3
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$（|OA||OC|+|OB||OD|）≥$\sqrt{|OA||OC||OB||OD|}$=3，當(dāng)且僅當(dāng)|OA||OC|=|OB||OD|時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，S₁+S₂最小值為3，直線AB的方程為y=±x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．