Question

13．某三棱柱被一個平面截去一部分后所得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是邊長為2的正三角形，則截去部分和剩余部分的體積之比為（　　）

• A． $\frac{10}{33}$
• B． $\frac{13}{36}$
• C． $\frac{13}{23}$
• D． $\frac{23}{33}$

Answer 1

分析 如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱的一部分，其中M，N分別為B₁B，B₁C₁的中點，F(xiàn)點在A₁C₁上，且FC₁=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$，則該截面為AMNF．利用三棱柱與三棱錐的體積計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱的一部分，其中M，N分別為B₁B，B₁C₁的中點，F(xiàn)點在A₁C₁上，且FC₁=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$，則該截面為AMNF．
連接MN，并延長交CC₁的延長線于點E，交CB的延長線于點D，三棱柱的體積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$ײ×4=4$\sqrt{3}$
設(shè)截去的部分和剩余的部分的體積分別為V₁，V₂，EC₁=2，BD=1，
∴${V}_{E-F{C}_{1}N}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．V_M-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．V_A-DCE=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×9$=3$\sqrt{3}$．
∴V₁=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{23\sqrt{3}}{9}$，V₂=$4\sqrt{3}$-$\frac{23\sqrt{3}}{9}$=$\frac{13\sqrt{3}}{9}$，
∴$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$=$\frac{13}{23}$．

點評 本題考查了三視圖的有關(guān)計算、三棱柱與三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．