Question

8．若不等式x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x-5y+10≤0}\\{x+y-8≤0}\end{array}\right.$，則z=|x-4|+2y的最小值為（　�。�

• A． $\frac{28}{5}$
• B． $\frac{26}{3}$
• C． $\frac{24}{5}$
• D． $\frac{22}{3}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義進行求解即可．

解答 解：當x≥4得z=x-4+2y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+4}{2}$，
當x≤4得z=-（x-4）+2y得y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-4}{2}$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
當x≥4時，平移y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+4}{2}$，由圖象知當直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+4}{2}$經(jīng)過點D時，直線的截距最小，同時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{x-5y+10=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，即D（4，$\frac{14}{5}$），此時z=|4-4|+2×$\frac{14}{5}$=$\frac{28}{5}$
當x≤4平移y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-4}{2}$，
由圖象知當直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-4}{2}$，
經(jīng)過點D時，直線的截距最小，同時z最小，
此時z=|4-4|+2×$\frac{14}{5}$=$\frac{28}{5}$，
綜上z=|x-4|+2y的最小值為$\frac{28}{5}$，
故選：A．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．