Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3x
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在[-$\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=e^x-ex+4n²-2n（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），如果對(duì)任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）≤h（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接求導(dǎo)數(shù)，然后解不等式可得原函數(shù)的增減區(qū)間；
（2）利用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=m的交點(diǎn)問題，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f（x）的極值、最值即可；
（3）因?yàn)閔（x）與f（x）是兩個(gè)不同的函數(shù)，所以該不等式恒成立只需f（x）_max≤h（x）_min即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
因?yàn)楫?dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
（2）要使函數(shù)g（x）=f（x）-m在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，就是要方程f（x）-m=0在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)實(shí)根，也就是只要函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=m的圖象在[-$\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
由（1）知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減；
所以f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=-2．
又f（$-\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{8}$，f（3）=18．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為$[\frac{9}{8}，2）$．
（3）對(duì)任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{1}{2}，2]$，都有f（x₁）≤h（x₂）恒成立，等價(jià)于當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，2]$時(shí)，f（x）_max≤h（x）_min成立．
由（1）知，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，且$f（-\frac{1}{2}）=-\frac{11}{8}，f（2）=2$，f（2）=2，所以f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值f（x）_max=2．
又h′（x）=e^x-e，令h′（x）=0，得x=1．
因?yàn)楫?dāng)x＜1時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0；所以h（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增；故h（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值h（x）_min=h（1）=4n²-2n．
所以4n²-2n≥2，解得$n≤-\frac{1}{2}$或n≥1，故實(shí)數(shù)n的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的方法，不等式恒成立問題的解題思路，屬于常規(guī)題目．