Question

9．已知函數(shù)f（x）=log₃（x-a）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2a，1）．
（1）求a的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+b，若函數(shù)y=g（x）在（3，4）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{m}{f（x）}$，是否存在正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=h（x）在[4，10]內(nèi)的最大值為4？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出a的值．
（2）根據(jù)（1）的解析式，利用g（3）g（4）＜0，進(jìn)一步求出b的取值范圍．
（3）利用分類討論的思想對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類討論，對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用單調(diào)性，再利用函數(shù)的存在性問(wèn)題求出實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）已知函數(shù)f（x）=log₂（x-a）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2a，1）．
所以：1=log₂（2a-a），
解得：a=2；
（2）由（1）得：f（x）=log₂（x-2），
所以：g（x）=log₂（x-2）+b，為定義域上的增函數(shù)，
函數(shù)y=g（x）在（3，4）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
所以：g（3）•g（4）＜0，
則：[log₂（3-2）+b][log₂（4-2）+b]＜0，
解得：-1＜b＜0．
（3）h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$
=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$
當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，
當(dāng)①$\sqrt{m}$≥10，h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$在區(qū)間[4，10]內(nèi)遞減，
所以：當(dāng)x=4時(shí)，取得最大值4，
解得：m=3（舍去）
②0＜$\sqrt{m}$≤4，h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$在區(qū)間[4，10]內(nèi)遞增，
當(dāng)x=10時(shí)，${log}_{2}（10-2）+\frac{m}{{log}_{2}（10-2）}$=4，
整理得：$3+\frac{m}{3}=4$
解得：m=3
③當(dāng)4＜$\sqrt{m}$＜10，h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$在區(qū)間[4，10]內(nèi)的端點(diǎn)處取到（實(shí)際上取不到）最值，故不存在最值．
綜上所述：存在正實(shí)數(shù)m=3，使函數(shù)h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$的最大值為4，

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．