Question

7．某地政府在該地一水庫上建造一座水電站，用泄流水量發(fā)電，如圖是根據(jù)該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X（單位：萬立方米）的頻率分布直方圖（不完整），已知X∈[0，120]，歷年中日泄流量在區(qū)間[30，60）的年平均天數(shù)為156天，一年按364天計．
（1）請把頻率直方圖補充完整；
（2）該水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每30萬立方米的日泄流量才能夠運行一臺發(fā)電機，如60≤X＜90時才夠運行兩臺發(fā)電機，若運行一臺發(fā)電機，每天可獲利潤4000元，若不運行，則該臺發(fā)電機每天虧損500元，以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率，以水電站日利潤的期望值為決策依據(jù)．問：為使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝多少臺發(fā)電機？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)在區(qū)間[0，30）上，$\frac{頻率}{組距}$=a，由頻率分布直方圖的性質(zhì)求出a=$\frac{1}{210}$，由此能補充完整頻率分布直方圖．
（Ⅱ）記水電站日利潤為Y元．不能運行發(fā)電機的概率為$\frac{1}{7}$，恰好運行一臺發(fā)電機的概率為$\frac{3}{7}$，恰好運行二臺發(fā)電機的概率為$\frac{2}{7}$，恰好運行三臺發(fā)電機的概率為$\frac{1}{7}$，分別求出安裝1臺發(fā)電機、安裝2臺發(fā)電機、安裝3臺發(fā)電機的數(shù)學(xué)期望，由此得到要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝3臺發(fā)電機．

解答 解：（Ⅰ）在區(qū)間[30，60）的頻率為$\frac{156}{364}=\frac{3}{7}$，（1分）
$\frac{頻率}{組距}$=$\frac{3}{7×30}$=$\frac{1}{70}$，（2分）
設(shè)在區(qū)間[0，30）上，$\frac{頻率}{組距}$=a，
則（a+$\frac{1}{70}+\frac{1}{105}+\frac{1}{210}$）×30=1，
解得a=$\frac{1}{210}$，（3分）
補充頻率分布直方圖如右圖所示．（6分）
（Ⅱ）記水電站日利潤為Y元．由（Ⅰ）知：不能運行發(fā)電機的概率為$\frac{1}{7}$，
恰好運行一臺發(fā)電機的概率為$\frac{3}{7}$，恰好運行二臺發(fā)電機的概率為$\frac{2}{7}$，
恰好運行三臺發(fā)電機的概率為$\frac{1}{7}$，
①若安裝1臺發(fā)電機，則Y的值為-500，4000，其分布列為：

Y	-500	4000
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{6}{7}$

E（Y）=-500×$\frac{1}{7}$+4000×$\frac{6}{7}$=$\frac{23500}{7}$．（8分）
②若安裝2臺發(fā)電機，則Y的值為-1000，3500，8000，其分布列為：

Y	-1000	3500	8000
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$

E（Y）=-1000×$\frac{1}{7}$+3500×$\frac{3}{7}$+8000×$\frac{3}{7}$=$\frac{33500}{7}$．（10分）
③若安裝3臺發(fā)電機，則Y的值為-1500，3000，7500，12000，其分布列為

Y	-1500	3000	7500	12000
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$

E（Y）=-1500×$\frac{1}{7}$+3000×$\frac{3}{7}$+7500×$\frac{2}{7}$+12000×$\frac{1}{7}$=$\frac{34500}{7}$，
∵$\frac{34500}{7}＞\frac{33500}{7}＞\frac{23500}{7}$，
∴要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝3臺發(fā)電機．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖、相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．