Question

15．在如圖所示的空間幾何體中，邊長為2的正三角形ABC所在平面與正三角形ABE所在平面互相垂直，DE在平面ABE內(nèi)的射影為∠AEB的平分線且DE與平面AEB所成的角為60°，DE=2．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OE，以O(shè)A所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CD⊥平面ABC．
（Ⅱ）求出平面ABE的法向量和平面BED的法向量，利用向量法能求出二面角A-BE-D的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OE，
∵△ABC與△ABE均為邊長為2的正三角形，且平面ABC⊥平面ABE，
∴CO⊥平面ABE，∴CO⊥AO，CO⊥OE，
又OE⊥AO，
∴以O(shè)A所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（1，0，0），B（-1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，$\sqrt{3}$，0），O（0，0，0），
又ED在平面ABE內(nèi)的投影為∠AEB的平分線，且DE于平面ABE所成角為60°，DE=2，
∴D（0，$\sqrt{3}-1，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（0，$\sqrt{3}-1，0$），$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{OA}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{OC}$=0，
∴CD⊥OA，CD⊥OC，
又OA∩OC=O，∴CD⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵OC⊥平面ABE，∴取$\overrightarrow{OC}$=（0，0，$\sqrt{3}$）為平面ABE的法向量，
設(shè)平面BED的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BD}=（1，\sqrt{3}-1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BE}=（1，\sqrt{3}，0）$，
則有：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+（\sqrt{3}-1）y+\sqrt{3}z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}，1$），
設(shè)二面角A-BE-D的平面角為θ，則有：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角A-BE-D的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．