Question

11．為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子游戲活動．對于A，B兩種游戲，每種游戲玩一次均會出現(xiàn)兩種結(jié)果，而且每次游戲的結(jié)果相互獨立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲A，若綠燈閃亮，獲得50分，若綠燈不閃亮，則扣除10分，綠燈閃亮的概率為$\frac{1}{2}$；玩一次游戲B，若出現(xiàn)音樂，獲得60分，若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除20分（即獲得-20分），出現(xiàn)音樂的概率為$\frac{2}{5}$．玩多次游戲后累計積分達到130分可以兌換獎品．
（1）記X為玩游戲A和B各一次所得的總分，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；
（2）記某人玩5次游戲B，求該人能兌換獎品的概率．

Answer 1

分析 （1）隨機變量X的所有可能取值為110，50，30，-30，計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學期望；
（2）設(shè)某人玩5次游戲B的過程中，出現(xiàn)音樂n次，列不等式求出n的值，再計算“某人玩5次游戲B能兌換獎品”的概率值．

解答 解：（1）隨機變量X的所有可能取值為110，50，30，-30，分別對應(yīng)以下四種情況：
①玩游戲A，綠燈閃亮，且玩游戲B，出現(xiàn)音樂；
②玩游戲A，綠燈不閃亮，且玩游戲B，出現(xiàn)音樂；
③玩游戲A，綠燈閃亮，且玩游戲B，沒有出現(xiàn)音樂；
④玩游戲A，綠燈不閃亮，且玩游戲B，沒有出現(xiàn)音樂，
所以$P（X=110）=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，
$P（X=50）=（1-\frac{1}{2}）×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，
$P（X=30）=\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{3}{10}$，
$P（X=-30）=（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{2}{5}）=\frac{3}{10}$，
即X的分布列為：

X	110	50	30	-30
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$

數(shù)學期望為$EX=110×\frac{1}{5}+50×\frac{1}{5}+30×\frac{3}{10}-30×\frac{3}{10}=32$；
（2）設(shè)某人玩5次游戲B的過程中，出現(xiàn)音樂n次，則沒出現(xiàn)音樂5-n次，
依題意得60n-20（5-n）≥130，
解得$n≥\frac{23}{8}$，
所以n=3或4或5；
設(shè)“某人玩5次游戲B能兌換獎品”為事件M，
則$P（M）=C_5^3×{（\frac{2}{5}）^3}×{（\frac{3}{5}）^2}+C_5^4×{（\frac{2}{5}）^4}×\frac{3}{5}+{（\frac{2}{5}）^5}=\frac{992}{3125}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．