Question

2．求函數(shù)y=$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析 先求出原函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，3]，可以看出原函數(shù)是由$y=\sqrt{t}$和t=3+2x-x²復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，而y=$\sqrt{t}$為增函數(shù)，從而求函數(shù)t=3+2x-x²在[-1，3]上的單調(diào)區(qū)間便可得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．而通過對(duì)t=3+2x-x²配方即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：解3+2x-x²≥0得，-1≤x≤3；
令3+2x-x²=t，則$y=\sqrt{t}$為增函數(shù)；
∴t=3+2x-x²在[-1，3]上的增減區(qū)間分別為原函數(shù)的增減區(qū)間；
∴原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-1，1]，單調(diào)減區(qū)間為（1，3]；
3+2x-x²=-（x-1）²+4；
∴0≤3+2x-x²≤4；
∴0≤y≤2；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇0，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查解一元二次不等式，復(fù)合函數(shù)的定義及其單調(diào)性，增函數(shù)的定義，以及二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，配方求二次函數(shù)值域的方法．