Question

17．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是矩形，AF=a，點M在線段EF上．
（1）求證：BC⊥AM；
（2）若AM∥平面BDE，試求線段AM的長．

Answer 1

分析 （1）由已知及等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理可證明AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，從而可證BC⊥平面ACEF，進而可證BC⊥AM．
（2）設AC與BD交于點N，由AM∥平面BDE，可得四邊形ANEM是平行四邊形，可得AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，解得$CN=\frac{a}{{\sqrt{3}}}$，又CE=a，從而可求EN，進而可求AM的值．

解答 證明：（1）由題意知，梯形ABCD為等腰梯形，且$AB=2a，AC=\sqrt{3}a$，
由AB²+BC²=AC²，可知AC⊥BC，
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面ACEF，
又AM?平面ACEF，
所以BC⊥AM．
解：（2）設AC與BD交于點N，因為AM∥平面BDE，AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=EN，
所以AM∥EN，F(xiàn)E∥AC，故四邊形ANEM是平行四邊形，
所以AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，
所以$CN=\frac{a}{{\sqrt{3}}}$，又CE=a，
所以$EN=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a$，
所以$AM=\frac{2}{3}\sqrt{3}a$．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的應用，考查了線面平行的性質(zhì)定理，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．