Question

12．過點(diǎn)P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)．
（1）|OA|•|OB|最小時，求直線l的方程；
（2）2|OA|+|OB|最小時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 法一：（1）先求出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到ab的最小值，從而求出直線方程；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到關(guān)于a，b的方程組，解出a，b，求出方程即可；法二：（1）設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-2），（k＜0），求出其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，表示出|OA|•|OB|，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出k的值，從而求出直線方程；
（2）表示出2|OA|+|OB|，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出k的值，求出直線方程即可．

解答 解：方法 一：設(shè)|OA|=a，|OB|=b，則直線l的方程為：
$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，（a＞2，b＞1），由已知可得：$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1；--------------------（2分）
（1）∵2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}}$≤$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，∴ab≥8，-------------------------------------（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{a}$=$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$，即a=4，b=2時，ab取最小值4．------------------------（6分）
此時直線l的方程為$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，即為x+2y-4=0．
故|OA|•|OB|最小時，所求直線l的方程為：x+2y-4=0．-------------------------（7分）
（2）由$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1得：2a+b=（2a+b）•（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$=9-----（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2b}{a}=\frac{2a}}\\{\frac{2}{a}+\frac{1}=1}\end{array}\right.$，即a=3，b=3時，2a+b取最小值9．-----------------（12分）
此時直線l的方程為$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{3}$=1，即x+y-3=0．
故@|OA|+|OB|最小時，所求直線l的方程為x+y-3=0．----------------------------（14分）
方法二：設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-2），（k＜0），
則l與x軸、y軸正半軸分別交于A（2-$\frac{1}{k}$，0）、B（0，1-2k）．--------------（2分）
（1）|OA|•|OB|=（2-$\frac{1}{k}$）•（1-2k）=4+（-4k）+（-$\frac{1}{k}$）≥4+2$\sqrt{（-4k）•（-\frac{1}{k}）}$=8，---------（4分），
當(dāng)且僅當(dāng)-4k=-$\frac{1}{k}$，即k=-$\frac{1}{2}$時取最小值8．----------------------------（6分）
故|OA|•|OB|最小時，所求直線l的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．---------（7分）
（2）2|OA|+|OB|=2（2-$\frac{1}{k}$）+（1-2k）=5+（-$\frac{2}{k}$）+（-2k）≥5+2$\sqrt{（-\frac{2}{k}）•（-2k）}$=9，---------（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)-$\frac{2}{k}$=-2k，即k=-1時取得最小值9．------------------------------------（12分）
故2|OA|+|OB|最小時，所求直線l的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．----------（14分）

點(diǎn)評 本題考查了直線方程問題，考查基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用，是一道中檔題．