Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_m+n+a_m-n-m+n=$\frac{1}{2}$（a_2m+a_2n），其中m，n∈N，m≥n．
（1）證明：對一切n∈N，都有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列遞推式，利用賦值法，可得a₂，根據(jù)數(shù)列遞推式，令m=n+2，進(jìn)而可得a_n+2=2a_n+1-a_n+2；
（2）確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求出數(shù)列的和，再進(jìn)行放縮，即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：令m=n，可得a₀=0；令n=0，可得a_2m=4a_m-2m，
令m=1，可得a₂=4a₁-2=6；
令m=n+2，則a_2n+2+a₂-2=$\frac{1}{2}$（a_2n+4+a_2n），
∵a_2m=4a_m-2m，
∴a_2n+1=4a_n+1-2（n+1），a_2n+4=4a_n+2-2（n+2），a_2n=4a_n-2n
∴a_n+2=2a_n+1-a_n+2；
（2）證明：由（1）知（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1-b_n=2
∴數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為a₂-a₁=4，公差為2的等差數(shù)列，
b_n=2n+2，
則a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+4+6+…+2n=n（n+1），
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$＜1．

點(diǎn)評 點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，正確確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和及放縮法是解題的關(guān)鍵．