Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-2，公差d=3；數(shù)列{b_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，滿足：2ⁿS_n+1=2ⁿ（n∈N₊）
（Ⅰ）記A_n=

1

anan+1

，求數(shù)列A_n的前n項(xiàng)和S；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)積，若數(shù)列{x_n}滿足x₁=c₂-c₁，且x_n=

Tn+1Tn-1- T 2 n

TnTn-1

(n∈N+，n≥2)，求數(shù)列{x_n}的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=3n-5．利用裂項(xiàng)可得A_n=

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)，利用“裂項(xiàng)求和”可得數(shù)列A_n的前n項(xiàng)和S．
（II）由2ⁿS_n+1=2ⁿ（n∈N₊），可得Sn=1-

1

2n

．當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=

1

2

；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可證明．
（III）數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n=

3n-5

2n

．?dāng)?shù)列{x_n}滿足x₁=c₂-c₁=

5

4

．當(dāng)n≥2時(shí)，x_n=

Tn+1

Tn

-

Tn

Tn-1

=c_n+1-c_n=

8-3n

2n+1

．當(dāng)n≤3時(shí)，數(shù)列{x_n}單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，數(shù)列{x_n}單調(diào)遞增，但是x_n＜0，即可得出．

解答： （I）解：∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-2，公差d=3，
∴a_n=-2+3（n-1）=3n-5．
∴A_n=

1

anan+1

=

1

(3n-5)(3n-2)

=

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)，
∴數(shù)列A_n的前n項(xiàng)和S=

1

3

[(-

1

2

-1)+(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-5

-

1

3n-2

)]
=

1

3

(-

1

2

-

1

3n-2

)
=-

n

6n-4

．
（II）證明：由2ⁿS_n+1=2ⁿ（n∈N₊），可得Sn=1-

1

2n

．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=(1-

1

2n

)-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

．
當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴bn=

1

2n

=

1

2

×(

1

2

)n-1．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

．
（III）數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n=

3n-5

2n

．
數(shù)列{x_n}滿足x₁=c₂-c₁=

1

22

-

-2

2

=

5

4

．
當(dāng)n≥2時(shí)，x_n=

Tn+1Tn-1- T 2 n

TnTn-1

=

Tn+1

Tn

-

Tn

Tn-1

=c_n+1-c_n=

3n-2

2n+1

-

3n-5

2n

=

8-3n

2n+1

．
當(dāng)n=1時(shí)也成立．
當(dāng)n≤3時(shí)，數(shù)列{x_n}單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，數(shù)列{x_n}單調(diào)遞增，但是x_n＜0．
∴數(shù)列{x_n}的最大值是x1=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．