Question

若三個互不相等的正數x₁，x₂，x₃滿足方程x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），且m₁，m₂，m₃三個數成等差數列，則下列關系正確的是（　�。�

• A、x₁x₃＜x₂²
• B、x₁x₃≤x₂²
• C、x₁x₃＞x₂²
• D、x₁x₃≥x₂²

Answer 1

考點：對數的運算性質,等差數列的通項公式

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：設f（x）=x+lnx，利用導數可判斷f（x）遞增，利用不等式可正f（

x1+x3

2

）＞

f(x1)+f(x3)

2

，又m₁+m₃=2m₂，得f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）＜2f（

x1+x3

2

），從而x2＜

x1+x3

2

，再由f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）可得ln

x1x3

x22

=2x₂-（x₁+x₃）＜0，于是可得答案．

解答： 解：設f（x）=x+lnx，f′（x）=1+

1

x

＞0，
∴f（x）單調遞增，
f（

x1+x3

2

）=

x1+x3

2

+ln

x1+x3

2

＞

x1+x3

2

+ln

x1x3

=

f(x1)+f(x2)

2

，
∵m₁+m₃=2m₂，
∴f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）＜2f（

x1+x3

2

），則x2＜

x1+x3

2

，
又由f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）可得ln

x1x3

x22

=2x₂-（x₁+x₃）＜0，
∴x1x3＜x22．
故選：A．

點評：本題考查函數單調性及其應用、函數與方程思想，解決該題的關鍵構造函數f（x）=x+lnx，利用函數性質解決問題，是中檔題．