Question

3．在極坐標系中，曲線$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$上任意兩點間的距離的最大值為3．

Answer 1

分析 曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為：x²+y²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$y=0，是以r=$\frac{3}{2}$為半徑的圓，曲線$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$上任意兩點間的距離的最大值為2r，由此能求出結果．

解答 解：曲線$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$，即$ρ=\frac{3}{2}cosθ+\frac{3\sqrt{3}}{2}sinθ$，
∴${ρ}^{2}=\frac{3}{2}ρcosθ+\frac{3\sqrt{3}}{2}ρsinθ$，
化為直角坐標方程為：x²+y²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$y=0，
由以r=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}$=$\frac{3}{2}$為半徑的圓，
∴曲線$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$上任意兩點間的距離的最大值為2r=3．
故答案為：3．

點評 本題考查曲線上任意兩點間的距離的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、的互化、圓的性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．