Question

8．已知函數(shù)f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在x∈[-4，0]上的值域；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令2^x=t，得出關(guān)于t的函數(shù)g（t）=2t²-2t-1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出g（t）的值域即可f（x）的值域；
（2）分離參數(shù)a可得a=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，再用換元法得出右側(cè)函數(shù)的值域，從而得出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=2•4^x-2^x-1=2（2^x）²-2^x-1，
令t=2^x，由x∈[-4，0]，得t∈[$\frac{1}{16}$，1]．
設(shè)g（t）=2t²-t-1=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，t∈[$\frac{1}{16}$，1]，
∴y=g（t）在$[\frac{1}{16}，\frac{1}{4}]$單調(diào)遞減，在$[\frac{1}{4}，1]$單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時，g（t）取得最小值g（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{9}{8}$，
當(dāng)t=1時，g（t）取得最大值g（1）=0，
∴f（x）在[-4，0]上的值域為[-$\frac{9}{8}$，0]．
（2）法一：關(guān)于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有實數(shù)解，設(shè)2^x=m＞0，
等價于方程2am²-m-1=0在m∈（0，+∞）上有解．
記g（m）=2am²-m-1，
當(dāng)a=0時，解為m=-1＜0，不成立．
當(dāng)a＜0時，開口向下，對稱軸m=$\frac{1}{4a}$＜0，
過點(diǎn)（0，-1），不成立．
當(dāng)a＞0時，開口向上，對稱軸m=$\frac{1}{4a}$＞0，
過點(diǎn)（0，-1），必有一個根為正，所以a＞0．
∴實數(shù)a的取值范圍為a＞0．
法二：關(guān)于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有實數(shù)解，
∴a=$\frac{{2}^{x}+1}{2•{4}^{x}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{{4}^{x}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
令$t=\frac{1}{2^x}$，t＞0，則$a=\frac{1}{2}（t+{t^2}）=\frac{1}{2}{（t+\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{8}$在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴實數(shù)a的取值范圍為a＞0．

點(diǎn)評 本題考查了換元法與函數(shù)值域的計算，屬于中檔題．