Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$．
（1）若f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．
（3）當(dāng)x∈（1，+∞），x²-mx+4＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，f$′（x）=\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$，而根據(jù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，從而有f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，這樣便可得到a≥-x²恒成立，而能求-x²的范圍，從而可得出a的范圍；
（2）由條件便得到a≤x²-x在（0，+∞）上恒成立，配方便得到${x}^{2}-x=（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，這樣即可得出a的范圍；
（3）由x∈（1，+∞），x²-mx+4＞0恒成立便可得到m$＜x+\frac{4}{x}$在（1，+∞）上恒成立，根據(jù)基本不等式便有$x+\frac{4}{x}≥4$，并且可以取到等號，從而可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$1+\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$；
f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
∴f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立；
即x²+a≥0在（1，+∞）上恒成立；
∴a≥-x²在（1，+∞）上恒成立；
-x²＜-1；
∴a≥-1；
∴a的取值范圍為[-1，+∞）；
（2）x∈（0，+∞）時，f（x）≥2恒成立；
∴$x-\frac{a}{x}≥2$在（0，+∞）上恒成立；
∴a≤x²-2x在（0，+∞）上恒成立；
x²-2x=（x-1）²-1≥-1；
∴a≤-1；
∴a的取值范圍為（-∞，-1]；
（3）x∈（1，+∞），x²-mx+4＞0恒成立；
∴m$＜x+\frac{4}{x}$在（1，+∞）上恒成立；
$x+\frac{4}{x}≥4$，當(dāng)$x=\frac{4}{x}$，即x=2時取“=”；
∴m＜4；
∴m的取值范圍為（-∞，4）．

點評 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，知道對于不等式a≥g（x）恒成立時，a只需大于等于g（x）的最大值，配方法求二次函數(shù)的值域，以及基本不等式的運用．