Question

5．在平面直角坐標(biāo)系，將曲線C₁上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$，得到曲線C₂，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（Ⅰ）求曲線C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O且關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)兩條直線l₁與l₂分別交曲線C₂于A、C和B、D，且點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)四邊形ABCD的周長最大時(shí)，求直線l₁的普通方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₂的普通方程，即可求曲線C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)四邊形ABCD的周長為l，設(shè)點(diǎn)A（2cosα，sinα），則l=8cosα+4sinα=4$\sqrt{5}$sin（α+θ），cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，由此，可求直線l₁的普通方程．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2，直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，將曲線C₁上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$，得到曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；
（Ⅱ）設(shè)四邊形ABCD的周長為l，設(shè)點(diǎn)A（2cosα，sinα），則l=8cosα+4sinα=4$\sqrt{5}$sin（α+θ），cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
α+θ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）時(shí)，l取得最大值，此時(shí)cosα=sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，A（$\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\frac{1}{\sqrt{5}}$），
∴直線l₁的普通方程為y=$\frac{1}{4}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求直線l₁的普通方程，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．