Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）當a=1時，求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）試討論函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a的交點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,函數(shù)的最值及其幾何意義,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，化簡方程去掉絕對值符號，求解所有使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）當a=1時，寫出函數(shù)y=f（x）的分段函數(shù)的形式，利用配方法求解在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）討論函數(shù)y=f（x）的最值以及函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的圖象與直線y=a的交點個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）x|x-1|+1=x，當x≥1時，可得x²-2x+1=0，解得x=1，當x＜1時，可得1-x²=0，解得x=-1．
所以x=-1或x=1；（2分）
（Ⅱ）f(x)=

x2-x+1，x≥1 -x2+x+1，x＜1

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥1 -(x- 1 2 )2+ 5 4 ，x＜1

（4分）
結(jié)合圖象可知函數(shù)的最大值為f（2）=3，最小值為f（0）=f（1）=1（16分）
（Ⅲ）因為a＞0，所以a＞

a

2

，
所以y1=x2-ax+1在[a，+∞）上遞增；y2=-x2+ax+1在(-∞，

a

2

)遞增，在[

a

2

，a)上遞減，
因為f（a）=1，所以當a=1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1，而f(

a

2

)-a=

a2

4

+1-a=

1

4

(a2-4a+4)=

1

4

(a-2)2≥0，
當且僅當a=2時，上式等號成立．（10分）
所以，當0＜a＜1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有1個交點；
當a=1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點；
當a=2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當a＞2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點．（12分）

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，函數(shù)的最值，分段函數(shù)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．