Question

2．已知過(guò)定點(diǎn)P（2，0）的直線l與曲線y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)S_△AOB=1時(shí)，直線l的傾斜角為（　�。�

• A． 150°
• B． 120°
• C． 120°或60°
• D． 150°或30°

Answer 1

分析 判斷曲線的形狀，利用三角形的面積求出∠AOB，推出原點(diǎn)到直線的距離，建立方程求出直線的斜率，然后求解傾斜角．

解答 解：曲線y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$，表示的圖形是以原點(diǎn)為圓心半徑為$\sqrt{2}$的上半個(gè)圓，
過(guò)定點(diǎn)P（2，0）的直線l設(shè)為：y=k（x-2）．（k＜0）即kx-y-2k=0．
S_△AOB=1．
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$sin∠AOB=1，
可得∠AOB=90°，
三角形AOB是等腰直角三角形，原點(diǎn)到直線的距離為：1．
∴1=$\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∵k＜0．∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線的傾斜角為150°．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．