Question

（1）求值域：已知f（x）=2^x+2-3•4^x（-1＜x＜0）
（2）函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）在區(qū)間[-1，1]上有最大值14，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)t=2^x，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，即可求函數(shù)的值域．
（2）設(shè)t=a^x，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，確定 函數(shù)的最大值，解方程即可，注意要進(jìn)行分類討論．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+2-3•4^x=4•2^x-3•（2^x）²，
設(shè)t=2^x，∵-1＜x＜0，
∴

1

2

＜t＜1，
則函數(shù)等價(jià)為y=g（t）=4•t-3•t²=-3(t-

2

3

)2+

4

3

，
∵

1

2

＜t＜1，
∴g（1）＜g（t）≤g（

2

3

），
即1＜g（t）≤

4

3

，即函數(shù)的值域?yàn)椋?，

4

3

]．
（2）函數(shù)y=a^2x+2a^x-1=（a^x）²+2a^x-1，
設(shè)t=a^x，則函數(shù)等價(jià)為f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，對(duì)稱軸為t=-1，
∵-1≤x≤1，
∴若a＞1，則0＜

1

a

≤t≤a＜1，此時(shí)函數(shù)的最大值為f（a）=（a+1）²-2=14，
即（a+1）²=16，解得a+1=4或a+1=-4，
則a=3或a=-5（舍去）．
若0＜a＜1，則0＜a≤t≤

1

a

＜1，此時(shí)函數(shù)的最大值為f（

1

a

）=（

1

a

+1）²-2=14，
即（

1

a

+1）²=16，解得

1

a

+1=4或

1

a

+1=-4，
則

1

a

=3或

1

a

=-5
解得a=

1

3

或a=-

1

5

（舍去）．
綜上a=

1

3

或a=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值域和最值的求解，利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．