Question

已知函數(shù)f（x）=

x

+

8-x

．
（I）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥|k-2|有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）由條件利用基本不等式求得

x

•

8-x

≤4，根據(jù)f²（x）≤8+8=16，求得（x）的最大值．
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥|k-2|有解，則f（x）的最大值大于或等于|k-2|，即|k-2|≤4，由此求得k的范圍．

解答： 解：（I）∵(

x

)2+(

8-x

)2=8≥2

x

•

8-x

，∴

x

•

8-x

≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，等號(hào)成立．
由于f²（x）=x+（8-x）+2

x

•

8-x

=8+

x

•

8-x

≤8+8=16，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，等號(hào)成立，
故f（x）的最大值為 4．
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥|k-2|有解，則f（x）的最大值大于或等于|k-2|，即|k-2|≤4，
∴-4≤k-2≤4，求得-2≤k≤6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的能成立問題，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．