【題目】某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元,每生產x千件,需另投入成本C(x),當年產量不足80千件時,C(x)= x2+10x(萬元);當年產量不小于80千件時C(x)=51x+ ﹣1450(萬元),通過市場分析,若每件售價為500元時,該廠本年內生產該商品能全部銷售完.
(1)寫出年利潤L(萬元)關于年產量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲的利潤最大?

【答案】
(1)解:∵每件商品售價為0.05萬元,

∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元,

①當0<x<80時,根據年利潤=銷售收入﹣成本,

∴L(x)=(0.05×1000x)﹣ ﹣10x﹣250=﹣ +40x﹣250;

②當x≥80時,根據年利潤=銷售收入﹣成本,

∴L(x)=(0.05×1000x)﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣(x+ ).

綜合①②可得,L(x)=


(2)解:①當0<x<80時,L(x)=﹣ +40x﹣250=﹣ +950,

∴當x=60時,L(x)取得最大值L(60)=950萬元;

②當x≥80時,L(x)=1200﹣(x+ )≤1200﹣2 =1200﹣200=1000,

當且僅當x= ,即x=100時,L(x)取得最大值L(100)=1000萬元.

綜合①②,由于950<1000,

∴年產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大


【解析】(1)根據題意對x進行分段,列出相應的函數(shù)解析式即可,(2)分別在分段中求出函數(shù)的最大值,分析可得所獲利潤最大時的年產量.

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