【題目】設(shè)F1 , F2分別是C: + =1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為 ,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

【答案】
(1)解:∵M(jìn)是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,

∴M的橫坐標(biāo)為c,當(dāng)x=c時,y= ,即M(c, ),

若直線MN的斜率為 ,

即tan∠MF1F2=

即b2= =a2﹣c2,

即c2+ ﹣a2=0,

,

即2e2+3e﹣2=0

解得e= 或e=﹣2(舍去),

即e=


(2)解:由題意,原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn),則直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),

設(shè)M(c,y),(y>0),

,即 ,解得y= ,

∵OD是△MF1F2的中位線,

=4,即b2=4a,

由|MN|=5|F1N|,

則|MF1|=4|F1N|,

解得|DF1|=2|F1N|,

設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,

則(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).

,即

代入橢圓方程得 ,

將b2=4a代入得

解得a=7,b=


【解析】(1)根據(jù)條件求出M的坐標(biāo),利用直線MN的斜率為 ,建立關(guān)于a,c的方程即可求C的離心率;(2)根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程組關(guān)系,求出N的坐標(biāo),代入橢圓方程即可得到結(jié)論.

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