【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)=k有3個實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】解:(I)∵f(x)=x3﹣3x,∴f′(x)=3(x﹣1)(x+1),
令f′(x)=0,解得x=﹣1或x=1,列表如下:
x | (﹣∞,﹣1) | ﹣1 | (﹣1,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 增 | 極大值 | 減 | 極小值 | 增 |
當(dāng)x=﹣1時,有極大值f(﹣1)=2;
當(dāng)x=1時,有極小值f(1)=﹣2.
(II)要f(x)=k有3個實(shí)根,
由(I)知:f(1)<k<f(﹣1),
即﹣2<k<2,
∴k的取值范圍是(﹣2,2)
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為y=f(x)和y=k有3個交點(diǎn),根據(jù)f(x)的極大值和極小值求出k的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣政府為了引導(dǎo)居民合理用水,決定全面實(shí)施階梯水價,階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn)定價:若用水量不超過12噸時,按4元/噸計算水費(fèi);若用水量超過12噸且不超過14噸時,超過12噸部分按6.60元/噸計算水費(fèi);若用水量超過14噸時,超過14噸部分按7.80元/噸計算水費(fèi).為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照,,…,分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.
(圖1) (圖2)
(Ⅰ)通過頻率分布直方圖,估計該市居民每月的用水量的平均數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01);
(Ⅱ)求用戶用水費(fèi)用(元)關(guān)于月用水量(噸)的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅲ)如圖2是該縣居民李某2017年1~6月份的月用水費(fèi)(元)與月份的散點(diǎn)圖,其擬合的線性回歸方程是.若李某2017年1~7月份水費(fèi)總支出為294.6元,試估計李某7月份的用水噸數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰直角三角形中,,,、分別是,上的點(diǎn),,為的中點(diǎn),將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值;
(3)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x3+sinx,(﹣1<x<1),若f(x2)+f(﹣x)>0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2n=n﹣an , a2n+1=an+1,則a1+a2+a3+…+a100= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè)A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),且x1≠x2 , 證明: <f′( ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣2a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)<1的解集為{x|1<x<3},求a的值;
(2)若存在x0∈R,使f(x0)+x0<3,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.y=
B.y=﹣x2+1
C.y=lg|x|
D.y=3x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, + = ,b=4,且a>c.
(1)求ac的值;
(2)若△ABC的面積為2 ,求a,c的值.
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