Question

2．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的弦AB的中點(diǎn)為P（1，$\frac{1}{2}$），則弦AB所在直線(xiàn)的方程及其弦長(zhǎng)|AB|．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1．由題意可設(shè)弦AB所在直線(xiàn)的方程為y-$\frac{1}{2}$=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立化為（1+4k²）x²+4k（1-2k）x+（1-2k）²-4=0，利用x₁+x₂=$\frac{4k（2k-1）}{1+4{k}^{2}}$=2，解得k．進(jìn)而得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1．
由題意可設(shè)弦AB所在直線(xiàn)的方程為y-$\frac{1}{2}$=k（x-1），化為y=kx+$\frac{1}{2}$-k．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}-k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（1+4k²）x²+4k（1-2k）x+（1-2k）²-4=0，（*）
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{4k（2k-1）}{1+4{k}^{2}}$=2，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴弦AB所在直線(xiàn)的方程為y=-$\frac{1}{2}$x+1，化為：x+2y-2=0．
（*）化為：x²-2x=0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與橢圓相交“中點(diǎn)弦”問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．