Question

17．當(dāng)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，不等式3${\;}^{{x}^{2}+27lo{{g}_{m}}^{3}}$＞m³對(duì)一切x∈R恒定立？

Answer 1

分析 把已知不等式兩邊取對(duì)數(shù)，然后由恒成立得到3log₃m-27log_m3＜0，再求解關(guān)于m的對(duì)數(shù)不等式得答案．

解答 解：由題意可知，m＞0且m≠1，
∴把不等式3${\;}^{{x}^{2}+27lo{{g}_{m}}^{3}}$＞m³兩邊取以3為底數(shù)的對(duì)數(shù)得：
x²+27log_m3＞3log₃m，
∴x²＞3log₃m-27log_m3，
要使對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則3log₃m-27log_m3＜0，
∴$\frac{lgm}{lg3}-9\frac{lg3}{lgm}＜0$，即$\frac{l{g}^{2}m-9l{g}^{2}3}{lg3lgm}＜0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lgm＞0}\\{l{g}^{2}m-9l{g}^{2}3＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{lgm＜0}\\{l{g}^{2}m-9l{g}^{2}3＞0}\end{array}\right.$②．
解①得：1＜m＜27；解②得0＜m＜$\frac{1}{27}$．
∴m的取值范圍是（0，$\frac{1}{27}$）∪（1，27）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，兩邊取對(duì)數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．