Question

15．如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C為半圓上不同A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（$\overrightarrow{PA}+\overline{PB}$）•$\overline{PC}$的最小值等于（　�。�

• A． 2
• B． -1
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 由O為AB的中點(diǎn)，得出$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，求出（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$；由|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2為定值，求出（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值．

解答 解：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，
所以$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，
從而（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$；
又|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2為定值，
所以當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{PO}$|=|$\overrightarrow{PC}$|=1，
即P為OC的中點(diǎn)時(shí)，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$取得最小值是-2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．