Question

3．由四個全等的等邊三角形的封面幾何體稱為正四面體，如圖，正四面體ABCD中，E、F分別是棱BC、AD的中點，CF與DE是一對異面直線，在圖形中適當?shù)倪x取一點作出異面直線CF、DE的平行線，找出異面直線CF與DE成的角．（注：至少用四種方法）

Answer 1

分析 【方法一】如圖1所示，找出∠CFG是異面直線CF與DE所成的角（或其補角），用余弦定理求即可；
【方法二】如圖2所示，找出∠FCM是異面直線CF與DE所成的角（或其補角）；用余弦定理求出即可；
【方法三】如圖3所示，找出∠NED是異面直線CF與DE所成的角（或其補角），利用余弦定理求出即可；
【方法四】如圖4所示，利用向量法，以{$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$}為基底，表示出$\overrightarrow{DE}$與$\overrightarrow{CF}$，求出兩向量所成的角，即可求出異面直線AE與CF所成的角．

解答 解：【方法一】如圖1所示，
過點F作FG∥DE，交AE與點G，連接GC，則∠CFG是異面直線CF與DE所成的角（或其補角）；
設AB=1，則DE=CF=AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
GC=$\sqrt{{GE}^{2}{+EC}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{4}）}^{2}{+（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{16}}$，
cos∠CFG=$\frac{{GF}^{2}{+CF}^{2}{-GC}^{2}}{2GF•CF}$=$\frac{\frac{3}{16}+\frac{3}{4}-\frac{7}{16}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴∠CFG=arccos$\frac{2}{3}$．
【方法二】如圖2所示，

過點C作CM∥ED，交BD的延長線與點M，連接FM，則∠FCM是異面直線CF與DE所成的角（或其補角）；
設AB=1，則DE=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴CM=2DE=$\sqrt{3}$，
FM²=DF²+DM²-2DF•DM•cos120°=${（\frac{1}{2}）}^{2}$+1²-2×$\frac{1}{2}$×1×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，
∴cos∠FCM=$\frac{{FC}^{2}{+CM}^{2}{-FM}^{2}}{2FC•CM}$=$\frac{\frac{3}{4}+3-\frac{7}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$，
∴∠FCM=arccos$\frac{2}{3}$；
【方法三】如圖3所示，連接BF，取BF的中點N，連接EN，DN，

則EN∥FC，且EN=$\frac{1}{2}$FC，∴∠NED是異面直線CF與DE所成的角（或其補角），利用余弦定理求出即可；
【方法四】如圖4所示，

向量法，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CD}$），$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$；
設正四面體的棱長為1，則|$\overrightarrow{CF}$|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$）
=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CD}}^{2}$
=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
∴cos＜$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{CF}|×|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$，
AE與CF所成角為arccos$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了異面直線所成的角的計算問題，解題時找角是關鍵，也可以用向量的方法求解，是綜合性題目．