Question

2．正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{8π}{3}$
• D． 3π

Answer 1

分析 將四面體ABCD放置于正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數(shù)據(jù)算出AB，即可算出截面面積的最小值．

解答 解：由題意，面積最小的截面是以AB為直徑的截面，
將四面體ABCD放置于正方體中，可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
設(shè)AB=a，則$\sqrt{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}a$=4，可求得AB=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
進(jìn)而截面面積的最小值為$π•（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}$=$\frac{8π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 球的內(nèi)接幾何體問題是高考熱點(diǎn)問題，本題通過求球的截面面積，對考生的空間想象能力及運(yùn)算求解能力進(jìn)行考查，具有一定難度．