Question

14．將一個(gè)周長(zhǎng)為18的矩形，以一邊為側(cè)棱，折成一個(gè)正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直），當(dāng)這個(gè)正三棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的半徑為$\frac{\sqrt{129}}{6}$．

Answer 1

分析 正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為y，則3x+y=9，0＜x＜3，表示正三棱柱的體積，利用基本不等式求最值，能求出正三棱柱的外接球的半徑．

解答 解：設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為y，則3x+y=9，0＜x＜3，
正三棱柱的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}y$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}（3-x）$
=3$\sqrt{3}$$•\frac{1}{2}x•\frac{1}{2}x•（3-x）$
≤3$\sqrt{3}$•（$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+3-x}{3}$）³=3$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)y=3，
可知正三棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點(diǎn)，
則半徑為r=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{43}{12}}$=$\frac{\sqrt{129}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{129}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查外接球的半徑的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審，注意基本不等式的合理運(yùn)用．