Question

當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[-5，-3]
• B、[-6，-

  9

  8

  ]
• C、[-6，-2]
• D、[-4，-3]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,其他不等式的解法

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分x=0，0＜x≤1，-2≤x＜0三種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對(duì)a取交集．

解答：解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式ax³-x²+4x+3≥0對(duì)任意a∈R恒成立；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≥

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
令f（x）=

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，則f′（x）=-

1

x2

+

8

x3

+

9

x4

=-

(x-9)(x+1)

x4

（*），
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴a≥-6；
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
由（*）式可知，當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴a≤-2；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-6≤a≤-2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-6，-2]．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對(duì)參數(shù)范圍取交集；若按照參數(shù)討論則取并集．