16.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,PA⊥面ABCD,PA=$\sqrt{3}$,E,F(xiàn)分別為BC,PA的中點.
(I)求證:BF∥面PDE;
(Ⅱ)求二面角D-PE-A的大小的正弦值;
(Ⅲ)求點C到面PDE的距離.

分析 (Ⅰ)取PD中點G,連結(jié)GF,由已知得四邊形BEGF是平行四邊形,從而BF∥EG,由此能證明BF∥面PDE.
(Ⅱ)作DH⊥AE于H點,作HI⊥PE于I點,連DI,由三垂線定理得∠DIH是二面角D-PE-A的平面角,由此能求出二面角D-PE-A的大小的正弦值.
(Ⅲ)以A為原點,AD為x軸,在平面ABCD中過A作AD的垂線為y軸,以AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出點C到面PDE的距離.

解答 (Ⅰ)證明:取PD中點G,連結(jié)GF,
∵E,F(xiàn)分別為BC,PA的中點,底面ABCD是邊長為2的菱形,
∴GF$\underset{∥}{=}$BE,∴四邊形BEGF是平行四邊形,
∴BF∥EG,
∵BF?平面PDE,EG?平面PDE,
∴BF∥面PDE.
(Ⅱ)解:作DH⊥AE于H點,作HI⊥PE于I點,連DI.
∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,
PA⊥面ABCD,PA=$\sqrt{3}$,
∴DH⊥平面PAE,∴由三垂線定理得∠DIH是二面角D-PE-A的平面角,
AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}-2AE•BE•cos120°}$=$\sqrt{4+1-2×2×1×(-\frac{1}{2})}$=$\sqrt{7}$,
DE=$\sqrt{D{C}^{2}+C{E}^{2}-2DC•CE•cos60°}$=$\sqrt{4+1-2×2×1×(-\frac{1}{2})}$=$\sqrt{3}$,
∴cos∠AED=$\frac{7+3-4}{2×\sqrt{3}×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,∴sin∠AED=$\sqrt{1-\frac{3}{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$,
∴S△AED=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{7}×\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\sqrt{3}$,
∴DH=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,
PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$,PE=$\sqrt{P{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{3+7}$=$\sqrt{10}$,
cos∠PED=$\frac{3+10-7}{2×\sqrt{3}×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$,sin∠PED=$\sqrt{1-\frac{3}{10}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{10}}$,
S△PED=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{10}×\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$,
DI=$\frac{\frac{\sqrt{21}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{10}}$,
∴$sin∠DIH=\frac{DH}{DI}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}•\frac{{\sqrt{10}}}{{\sqrt{21}}}=\frac{2}{7}\sqrt{10}$,
∴二面角D-PE-A的大小的正弦值為$\frac{2}{7}\sqrt{10}$.
(Ⅲ)解:以A為原點,AD為x軸,在平面ABCD中過A作AD的垂線為y軸,以AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,$\sqrt{3}$),D(2,0,0),E(2,$\sqrt{3}$,0),C(3,$\sqrt{3}$,0),
$\overrightarrow{PD}$=(2,0,-$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{PE}$=(2,$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{PC}$=(3,$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$),
設(shè)平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,取z=2,得$\overrightarrow{n}=(\sqrt{3},0,2)$,
∴點C到面PDE的距離:
d=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的正弦值的求法,考查點到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要注意余弦定定理和向量法的合理運用.

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