Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)）．現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ） 寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ） 已知點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程k消去參數(shù)t得直線l普通方程又由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）曲線C的方程可化為（x-1）²+y²=1，設(shè)與直線l平行的直線為y=x+b，當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，$b=-1±\sqrt{2}$，當(dāng)$b=-1-\sqrt{2}$時(shí)，P到直線l的距離達(dá)到最大，最大值為兩平行線的距離．

解答 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解：（Ⅰ）由題，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)）．
消去直線l參數(shù)方程中的參數(shù)t得直線l普通方程為y=x+2．
又由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x=0．（5分）
（Ⅱ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ可化為（x-1）²+y²=1，
設(shè)與直線l平行的直線為y=x+b，
當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，有$\frac{{|{1+b}|}}{{\sqrt{2}}}=1$，即$b=-1±\sqrt{2}$，
于是當(dāng)$b=-1-\sqrt{2}$時(shí)，P到直線l的距離達(dá)到最大，最大值為兩平行線的距離即$\frac{{|{2-（-1-\sqrt{2}）}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}+1$．
（或先求圓心到直線的距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，再加上半徑1，即為P到直線l距離的最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}+1$）（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和普通方程的互化，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用．