Question

7．已知函數(shù)f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{3π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，若$f（A）+sin（2A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，b+c=7，△ABC的面積為$2\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出它的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)方程f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，求出A的值，再根據(jù)△ABC的面積以及余弦定理求出a的值．

解答 解：（1）由題意得f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；…（3分）
因?yàn)閤∈[0，$\frac{3π}{2}$]，所以取$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$或$\frac{7π}{6}$≤x≤$\frac{3π}{2}$，
所以函數(shù)f（x）在[0，$\frac{3π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間為
[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]； …（5分）
（2）由f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
得-sin（2A+$\frac{π}{6}$）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
化簡(jiǎn)得cos2A=-$\frac{1}{2}$；…（6分）
又0＜A＜$\frac{π}{2}$，所以A=$\frac{π}{3}$；
由題意知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
解得bc=8；…（8分）
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-2bc（1+cosA）
=49-2×8×（1+$\frac{1}{2}$）
=25；
故所求a的值為5．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．