Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的一個焦點為（

3

，0）．
（1）求a的值．
（2）直線l經(jīng)過點P（

1

2

，

1

2

），且與橢圓C交于A、B兩點，若點P恰為線段AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的一個焦點為（

3

，0），可得a²-1=3，即可求出a；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，利用點差法求出直線的向量，可求直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的一個焦點為（

3

，0），
∴a²-1=3，
∴a=2；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，y₁+y₂=1；
由（1）知，x₁²+4y₁²=4，①x₂²+4y₂²=4，②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
∴（x₁-x₂）+4（y₂-y₁）=0，
由題意知，直線l的斜率存在，k=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，
∴直線l的方程為y-

1

2

=-

1

4

（x-

1

2

），即2x+8y-5=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查點差法求直線方程，正確運用點差法是關(guān)鍵．