Question

9．我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高．原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[{-1，0}）\\ cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]\end{array}$的圖象與x軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域A，將區(qū)域A沿z軸的正方向平移4個(gè)單位，得到幾何體如圖一，現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域A的面積相等，則此圓柱的體積為π+4．

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[{-1，0}）\\ cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]\end{array}$的圖象與x軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域A的面積為$\frac{1}{4}$π+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx$=$\frac{1}{4}$π+1，即可求出此圓柱的體積．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[{-1，0}）\\ cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]\end{array}$的圖象與x軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域A的面積為$\frac{1}{4}$π+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx$=$\frac{1}{4}$π+1，∴此圓柱的體積為4（$\frac{1}{4}$π+1）=π+4，
故答案為：π+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查體積的計(jì)算，考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，正確求出區(qū)域的面積是關(guān)鍵．