Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的兩焦點，P為橢圓上一點，△PF₁F₂的面積為$\sqrt{3}$，求∠F₁PF₂的大�。�

Answer 1

分析 通過畫出草圖，利用三角形面積可確定點P在y軸上，結合橢圓定義可知△PF₁F₂為等邊三角形，進而即得結論．

解答 解：不妨設P在x軸上方，過P作x軸垂線交x軸于H．
∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴|F₁F₂|=2，
∵△PF₁F₂的面積為$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|PH|=$\sqrt{3}$，
∴|PH|=$\sqrt{3}$，即點P在y軸上，
由橢圓定義可知：|PF₁|=|PF₂|=2，
∴△PF₁F₂為等邊三角形，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查數(shù)形結合，注意解題方法的積累，屬于基礎題．