Question

6．已知直線l與球O有且只有一個公共點P，從直線l出發(fā)的兩個半平面α，β截球O的兩個截面圓的半徑分別為1、2，二面角α-l-β的平面角為$\frac{2π}{3}$，則球O的表面積$\frac{112}{3}π$．

Answer 1

分析 過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，設出球的半徑，通過解三角形，利用轉(zhuǎn)化思想求出球的半徑的平方，然后求出球的表面積．

解答 解：過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，如圖
設球的半徑為r，作OE⊥QP，OF⊥PM，則EP=1，PF=2，
設∠OPE=α，∠OPF=$\frac{2π}{3}$-α，
所以 $\frac{rcosα}{rcos（\frac{2π}{3}-α）}$=$\frac{1}{2}$，
即sinα=3$\sqrt{3}cosα$，sin²α+cos²α=1解得
cos²α=$\frac{1}{28}$
所以r²=$\frac{28}{3}$；
所以球的表面積為：4πr²=4π×$\frac{28}{3}$=$\frac{112}{3}π$．
故答案為$\frac{112}{3}π$

點評 本題是中檔題，考查二面角的有關(guān)知識，考查轉(zhuǎn)化思想的應用，空間想象能力，計算能力．