19.如圖,已知邊長(zhǎng)為2的正△A′BC,頂點(diǎn)A′在平面α內(nèi),頂點(diǎn)B,C在平面α外的同一側(cè),點(diǎn)B′,C′分別為B,C在平面α上的投影,設(shè)|BB′|≤|CC′|,直線CB′與平面A′CC′所成的角為φ.若△A′B′C′是以∠A′為直角的直角三角形,則tanφ的范圍為$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}})$.

分析 由題意找出線面角,設(shè)BB′=a,CC′=b,可得ab=2,然后由a的變化得到A′B′的變化范圍,從而求得tanφ的范圍.

解答 解:如圖,
由CC′⊥α,A′B′?α,得A′B′⊥CC′,
又A′B′⊥A′C′,且A′C′∩CC′=C′,
∴A′B′⊥面A′C′C,則φ=∠B′CA′,
設(shè)BB′=a,CC′=b,則A′B′2=4-a2,A′C′2=4-b2,
設(shè)B′C′=c,
則有$\left\{\begin{array}{l}{4-{a}^{2}+4-^{2}={c}^{2}}\\{(\frac{c}{2})^{2}+(\frac{a+b}{2})^{2}=3}\end{array}\right.$,整理得:ab=2.
∵|BB′|≤|CC′|,∴a≤b,
tanφ=$\frac{A′B′}{2}$,
在三角形BB′A′中,∵斜邊A′B為定值2,
∴當(dāng)a最大為$\sqrt{2}$時(shí),A′B′取最小值$\sqrt{2}$,tanφ的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
當(dāng)a減小時(shí),tanφ增大,
若a≤1,則b≥2,在Rt△A′CC′中出現(xiàn)直角邊大于等于斜邊,矛盾,
∴a>1,此時(shí)A′B′<$\sqrt{3}$,即tanφ$<\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴tanφ的范圍為$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}})$.
故答案為:$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面所成的角,考查了空間想象能力和思維能力,靈活性強(qiáng),屬有一定難度題目.

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