Question

7．如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P（1，0），M（2，-2）為線段QR的中點(diǎn)，則A=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{7\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)出Q（2a，0）a＞0，R（0，b），b＜0，求出a，b的值，通過(guò)五點(diǎn)法求出函數(shù)的解析式，即可求出A．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P（1，0）、M（2，-2）為線段QR的中點(diǎn)，
∴設(shè)Q（2a，0），a＞0，R（0，b），b＜0，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a+0}{2}=2}\\{\frac{0+b}{2}=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
即Q（4，0），R（0，-4），
則函數(shù)的周期T=2×（4-1）=6，
即$\frac{2π}{ω}=6$，即ω=$\frac{π}{3}$，
則f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x+φ），
∵f（1）=0，且f（0）=-4，
∴Asin（$\frac{π}{3}$+φ）=0，且Asinφ=-4，
即$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，
則φ=kπ-$\frac{π}{3}$，
∵φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=-$\frac{π}{3}$，
則Asin（-$\frac{π}{3}$）=-4，
即$-\frac{\sqrt{3}}{2}$A=-4，
解得A=$\frac{8}{\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求得Q點(diǎn)與R點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵，考查識(shí)圖、運(yùn)算與求解能力，屬于中檔題．