【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,為的中點(diǎn).
(1)若,求證:;
(2)若,且,點(diǎn)在線段上,試確定點(diǎn)的位置,使二面角大小為,并求出的值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)由,為的中點(diǎn),得,又由底面為菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),證得,進(jìn)而證得,即可證明;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,得平面和平面的一個(gè)法向量,根據(jù)二面角大小為,利用向量的運(yùn)算,即可求解求出的值.
試題解析:⑴∵,為的中點(diǎn),∴,又∵底面為菱形,,∴,又,∴,又∵,∴;
⑵∵,,,
∴,∴以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
則,,,,設(shè),
所以,平面的一個(gè)法向量是,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
所以,∴∴.
取,
由二面角大小為,可得:,解得,此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)離心率為,且滿足,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年時(shí)紅軍長(zhǎng)征勝利80周年,某市電視臺(tái)舉辦紀(jì)念紅軍長(zhǎng)征勝利80周年知識(shí)問答,宣傳長(zhǎng)征精神.首先在甲、乙、丙、丁四個(gè)不同的公園進(jìn)行支持簽名活動(dòng),其次在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運(yùn)之星,每人獲得一個(gè)紀(jì)念品,其數(shù)據(jù)表格如下:
(Ⅰ)求此活動(dòng)中各公園幸運(yùn)之星的人數(shù);
(Ⅱ)從乙和丙公園的幸運(yùn)之星中任選兩人接受電視臺(tái)記者的采訪,求這兩人均來(lái)自乙公園的概率;
(Ⅲ)電視臺(tái)記者對(duì)乙公園的簽名人進(jìn)行了是否有興趣研究“紅軍長(zhǎng)征”歷史的問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下(單位:人):
據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為有興趣研究“紅軍長(zhǎng)征”歷史與性別有關(guān).
附臨界值表及公式: ,其中
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)對(duì)于直線和點(diǎn),橢圓上是否存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱,且,若存在實(shí)數(shù)的值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2當(dāng)x=-2時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中且,若, 在處切線的斜率為.
(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)區(qū)間;
(2)若實(shí)數(shù)滿足,且對(duì)于任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面 平面, , 且, , 分別為, 的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面 平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組,在對(duì)該校學(xué)生的良好“用眼習(xí)慣”的調(diào)查中,隨機(jī)發(fā)放了120分問卷.對(duì)收回的100份有效問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下列聯(lián)表:
做不到科學(xué)用眼 | 能做到科學(xué)用眼 | 合計(jì) | |
男 | 45 | 10 | 55 |
女 | 30 | 15 | 45 |
合計(jì) | 75 | 25 | 100 |
(1)現(xiàn)按女生是否能做到科學(xué)用眼進(jìn)行分層,從45份女生問卷中抽取了6份問卷,從這6份問卷中再隨機(jī)抽取3份,并記其中能做到科學(xué)用眼的問卷的份數(shù),試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為良好“用眼習(xí)慣”與性別有關(guān),那么根據(jù)臨界值表,最精確的的值應(yīng)為多少?請(qǐng)說明理由.
附:獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,其中.
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.840 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)對(duì)任意的,滿足條件: ,且當(dāng)時(shí), .
(1)求的值;
(2)證明:函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù);
(3)解關(guān)于的不等式.
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