Question

【題目】已知函數(shù)，其中且，若， 在處切線的斜率為．

（1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)區(qū)間；

（2）若實數(shù)滿足，且對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;（2）．

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合，列方程組并解得， ，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（2）結(jié)合函數(shù)極值點分類討論，確定所在單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性驗證是否滿足題意，從而求出實數(shù)的取值范圍．

試題解析：(1）由于且，則，

當(dāng)時， ，即，

故，即， ，

因此.

令，則，即在上單調(diào)遞增，

由于，則，

故當(dāng)時， ， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， ， 單調(diào)遞增．

因此的單調(diào)遞減區(qū)間為， 的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）當(dāng)時，取，則，

由于在上單調(diào)遞增，則，不合題意，故舍去；

當(dāng)時，由抽屜原理可知，則，

若，由于在上單調(diào)遞減，則成立；

若， ，則，

故，

由于，則， （當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）

故（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）

由于，故上式無法取“=”，

因此恒成立， ．