Question

如圖，橢圓+=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為F的最大距離是，已知點(diǎn)M（1，e）在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為K的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在x軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交橢圓于另一點(diǎn)H．證明：對任意的K＞0，點(diǎn)P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為F的最大距離是，M（1，e）在橢圓上，建立方程組，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線QN的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：由題意，，解得a²=4，b²=1
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）證明：令P（x₁，kx₁），H（x_H，y_H），則Q（-x₁，-kx₁），N（x₁，0）
∴k_PN=，∴直線QN的方程為y=（x-x₁），
代入，整理得（1+k²）x²-2k²x₁x+=0
∴（-x₁）+x_H=，∴x_H=+x₁，
∴=（-2x₁，-2kx₁），=（，）
∴=
∵k＞0，x₁＞0，∴＜0
∴對任意的k＞0，點(diǎn)P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．