Question

設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的前2013項(xiàng)和等于2013，則

1

a2

+

1

a2012

的最小值為

2

．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得a₁+a₂₀₁₃=2．利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₂+a₂₀₁₂=2．再利用基本不等式的性質(zhì)可得

1

a2

+

1

a2012

=

1

2

(a2+a2012)(

1

a2

+

1

a2012

)=

1

2

(

a2012

a2

+

a2

a2012

)+1≥

1

2

×2×

a2012 a2 × a2 a2012

+1即可得出．

解答：解：由題意可得a_n＞0，S2013=

2013(a1+a2013)

2

=2013，解得a₁+a₂₀₁₃=2．
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₂+a₂₀₁₂=2．
∴好

1

a2

+

1

a2012

=

1

2

(a2+a2012)(

1

a2

+

1

a2012

)=

1

2

(

a2012

a2

+

a2

a2012

)+1≥

1

2

×2×

a2012 a2 × a2 a2012

+1=2．
當(dāng)且僅當(dāng)a₂=a₂₀₁₂=1上=時(shí)取等號(hào)．
∴

1

a2

+

1

a2012

的最小值為2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．