Question

如圖所示，橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F₁（0，c），F(xiàn)₂（0，-c）（c＞0），拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與F₁重合，過(guò)F₂的直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)在第一象限，且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且

F2B

=λ

AF2

．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若△OEF₂的面積為1，E為直線與曲線的切點(diǎn)，求拋物線C₂的方程；
（3）當(dāng)λ∈[2，4]時(shí)，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由于拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與F₁重合，可得c=

p

2

．設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀）（x₀＞0）．由拋物線x²=2py，可得y′=

x

p

，可得切線l的斜率k=

x0

p

．因此切線的方程為：y=

x0

p

x-c，與拋物線的方程聯(lián)立可得x²-2x₀x+2pc=0，利用△=0，可得x₀=2c，即可證明切線l的斜率為定值．
（2）由（1）可得

x0

p

=1，可得x₀=p．利用S△OEF2=

1

2

|OF2|•|x0|即可得出．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由（1）可得x₀=2c，p=2c，切線方程為y=x-c．與橢圓方程聯(lián)立可得（a²+b²）x²-2b²cx-b⁴=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其向量運(yùn)算

F2B

=λ

AF2

可得e=

2 (λ-1)

λ+1

=

2

(1-

2

1+λ

)．根據(jù)λ∈[2，4]即可得出．

解答： （1）證明：∵拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與F₁重合，∴c=

p

2

．
設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀）（x₀＞0）．由拋物線x²=2py，可得y′=

x

p

，∴切線l的斜率k=

x0

p

．
∴切線的方程為：y=

x0

p

x-c，
聯(lián)立

y= x0 p x-c x2=2py

，化為x²-2x₀x+2pc=0，
由于△=0，
∴4

x

2 0

-8pc=0，
把p=2c代入可得x₀=2c，
∴切線l的斜率k=

2c

p

=1．
∴切線l的斜率為定值1．

（2）由（1）可得

x0

p

=1，
∴x₀=p．
∵△OEF₂的面積為1，
∴S△OEF2=

1

2

|OF2|•|x0|=

1

2

×

p

2

×p=1，解得p=2．
∴拋物線C₁的方程為：x²=4y．

（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）可得x₀=2c，p=2c，切線方程為y=x-c．
聯(lián)立

y=x-c b2y2+a2x2=a2b2

，化為（a²+b²）x²-2b²cx-b⁴=0，
∴x1+x2=

2b2c

a2+b2

，x₁x₂=

-b4

a2+b2

．（*）
∵

F2B

=λ

AF2

，
∴x₂=-λx₁．（λ∈[2，4]）．
代入（*）可得x1=

2b2c

(1-λ)(a2+b2)

，
∴

-λ•4b4c2

(1-λ)2(a2+b2)2

=

-b4

a2+b2

，
化為e=

2 (λ-1)

λ+1

=

2

(1-

2

1+λ

)．
∵λ∈[2，4]，
∴e∈[

2

3

，

3 2

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得跟與系數(shù)的關(guān)系、向量運(yùn)算、切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究直線的斜率，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．